Permutaciones, transposiciones y género

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Introducción

En la presentación de este blog, se mencionó el significado matemático de transposición como reordenación de las filas o columnas de una matriz, pero esto es solo una particularización de un significado más general en el contexto de las permutaciones, cuando los índices permutados representan las filas o columnas de dicha matriz.

En esta entrada, presentaré primero las permutaciones, luego transposiciones en el contexto de las permutaciones y, finalmente, una aplicación de ellas a la identidad de género. Comenzaré como si estuviéramos en una lección de Matemáticas de primer curso universitario, pero también señalaré algunos ejemplos como avanzados para beneficio de este tipo de lectores.

Introducción a las permutaciones

Consideremos un conjunto $\Omega$ no vacío, esto es, una colección desordenada de elementos contados sin repetición. Para muchas consideraciones, no importa si $\Omega$ es finito o infinito, pero la mayoría de las aplicaciones interesantes se restringen a $\Omega$ finito, especialmente $\Omega=\{1,\dots,n\}$ tomado como conjunto de índices que apuntan a otros objetos.

Qué es una permutación

Una permutación sobre $\Omega$ se define como una correspondencia biyectiva de $\Omega$ sobre sí mismo, en otras palabras, una función $\sigma$ que asigna a cada elemento $\omega\in\Omega$ otro elemento $\sigma(\omega)\in\Omega$ de un modo reversible. ¿Qué quiero decir con “biyectiva” o “un modo reversible”? Bien, $\sigma$ es invertible si existe otra función $\sigma^{-1}$ del mismo tipo tal que $\sigma(\sigma^{-1}(\omega))=\sigma^{-1}(\sigma(\omega))=\omega$ para todo elemento $\omega\in\Omega$ .

Para quien sea purista, estoy aprovechando que el dominio y el recorrido de $\sigma$ es el mismo $\Omega$ , pero esta es una característica fundamental de las permutaciones: simplemente reordenan los elementos de $\Omega$ .

Por tanto, esencialmente, una permutación es una reordenación de los elementos de $\Omega$ , donde cada elemento $\omega\in\Omega$ apunta a otro elemento $\sigma(\omega)\in\Omega$ de manera que podemos recuperar $\omega$ a partir de $\sigma(\omega)$ .

Cómo se escribe una permutación

Para $\Omega$ finito, una permutación se puede representar como una tabla de dos filas entre paréntesis (como una matriz, pero no sujeta a las operaciones de matrices, para el lector avanzado) listando $\Omega$ en la fila superior y las respectivas imágenes debajo. Por ejemplo, la permutación sobre 4 elementos

$\alpha=\left( \begin{array}[pos]{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 3 & 1 \end{array}\right)$

asigna a cada número de la final superior su correspondiente número de la fila inferior.

Una permutación como $\alpha$ pertenece a un tipo particular, pues asigna cíclicamente $1\mapsto 2\mapsto 4\mapsto 1$ y deja $3$ fijo. Cuando una permutación asigna cíclicamente un subconjunto ordenado de $\Omega$ y deja fijo el resto de $\Omega$ , decimos que es un ciclo y, cuando $\Omega$ está asumido, podemos escribirla en una sola fila

$\alpha=\left( \begin{array}[pos]{ccc} 1 & 2 & 4 \end{array}\right)$

donde cada elemento se asigna al siguiente, el último se a asigna al primero, y los omitidos se dejan fijos.

Operaciones con permutaciones

Para cualquier $\Omega$ , siempre tenemos una permutación especial, llamada la permutación identidad, que asigna cada elemento a sí mismo, en otras palabras, deja todo $\Omega$ fijo. En fórmulas, se tiene $\mathrm{id}(\omega)=\omega$ para todo $\omega\in\Omega$ .

Antes de proseguir, quiero repasar la composición de funciones, denotada usualmente por $\circ$ . Dadas dos funciones $f$ y $g$ , se define la función compuesta $f\circ g$ de manera que la fórmula $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ es cierta allá donde tenga sentido. Es digno de mención que la composición, cunado tiene sentido, es asociativa pero no necesariamente conmutativa. En fórmulas, la propiedad asociativa para una operación $\ast$ quiere decir $(f\ast g)\ast h=f\ast(g\ast h)$ , mientras que la propiedad conmutativa dice $f\ast g=g\ast f$ , y esta última puede fallar para $\ast=\circ$ .

Por ser asociativa, podemos prescindir de los paréntesis en productos de composición largos del tipo

$f_1\circ f_2\circ f_3\circ f_4,$

pues cualquier agrupación válida de ellos nos dará el mismo resultado. Sin embargo, por no ser necesariamente conmutativa, el orden de los factores importa en principio. En otras palabras, $f\circ g$ no es siempre igual a $g\circ f$ .

En el caso de permutaciones sobre el mismo $\Omega$ , siempre tiene sentido componerlas, siendo la operación $\circ$ asociativa pero no necesariamente conmutativa. Como tenemos la permutación identidad como elemento neutro de esta operación, así como inversas para toda permutación, el lector acostumbrado al Álgebra Abstracta puede reconocer la estructura de grupo en la familia de todas las permutaciones sobre $\Omega$ con la composición usual.

Ejemplos sobre conmutatividad

Si tomamos la permutación $\alpha$ de antes y el ciclo

$\beta=\left( \begin{array}[pos]{cc} 3 & 4 \end{array}\right),$

tenemos

$\alpha\circ\beta =\left(\begin{array}[pos]{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3 \end{array}\right) =\left(\begin{array}[pos]{cccc} 1 & 2 & 4 & 3 \end{array}\right)$

$\beta\circ\alpha =\left(\begin{array}[pos]{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{array}\right) =\left(\begin{array}[pos]{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \end{array}\right),$

que son claramente permutaciones diferentes.

No obstante, cuando los elementos desplazados por dos ciclos son disjuntos, estos ciclos en particular sí conmutan, donde disjunto quiere decir “sin ningún elemento en común”. Esta propiedad es clave para una teorema relevante: “Toda permutación sobre $\Omega$ finito puede factorizarse como composición de ciclos disjuntos, y esta familia de factores (vacía en el caso de la permutación identidad) es única tomada sin importar el orden.” Como los ciclos disjuntos conmutan, podemos recuperar la permutación original a partir de estos factores simplemente multiplicándolos en cualquier orden.

Esta descomposición es incluso constructiva. Tomamos cualquier elemento $\omega_1\in\Omega$ y calculamos la secuencia de sus imágenes iteradas por $\sigma$ hasta que $\omega_1$ vuelva a aparecer. En fórmulas, si tenemos $\sigma^\ell(\omega_1)=\omega_1$ , escribimos el ciclo

$c_1=\left(\begin{array}[pos]{cccc} \omega_1 & \sigma(\omega_1) & \dots & \sigma^{\ell-1}(\omega_1) \end{array}\right)$

salvo que $\sigma(\omega_1)=\omega_1$ , en cuyo caso $\omega_1$ queda fijo y no da lugar a ningún ciclo. En cualquier caso, descartamos de $\Omega$ tanto $\omega_1$ como todas sus imágenes iteradas y proseguimos con los elementos restantes.

Introducción a las transposiciones

En el contexto de permutaciones, una transposición es un tipo muy particular de ciclo, precisamente uno de longitud 2, que simplemente intercambia dos elementos de $\Omega$ , dejando fijo el resto.

Descomposición en transposiciones

Del mismo modo que podemos factorizar una permutación en ciclos, también podemos factorizarla es transposiciones, pero esta vez no de un modo único. Por ejemplo,

$\alpha =\left(\begin{array}[pos]{cc} 1 & 4 \end{array}\right) \left(\begin{array}[pos]{cc} 1 & 2 \end{array}\right) =\left(\begin{array}[pos]{cc} 2 & 4 \end{array}\right) \left(\begin{array}[pos]{cc} 1 & 4 \end{array}\right)$

e incluso

$\alpha =\left(\begin{array}[pos]{cc} 1 & 3 \end{array}\right) \left(\begin{array}[pos]{cc} 3 & 4 \end{array}\right) \left(\begin{array}[pos]{cc} 1 & 3 \end{array}\right) \left(\begin{array}[pos]{cc} 1 & 2 \end{array}\right),$

pero lo que permanece es la paridad del número de factores, en otras palabras, si tenemos un número par o impar de transposiciones en la lista de factores, contados con su repetición y considerando al 0 como par.

De acuerdo con su paridad, se asigna a cada permutación un signo $\pm1$ , que es $+1$ para las permutaciones pares y $-1$ para las impares. Un ciclo de longitud $\ell$ tiene por signo $(-1)^{\ell-1}$ , pues la factorización

$\left(\begin{array}[pos]{cccc} \omega_1 & \omega_2 & \dots & \omega_\ell \end{array}\right) =\left(\begin{array}[pos]{cc} \omega_1 & \omega_\ell \end{array}\right) \cdots\left(\begin{array}[pos]{cc} \omega_1 & \omega_2 \end{array}\right)$

es siempre válida y da lugar a $\ell-1$ transposiciones. El signo de una composición es el producto de los signos de los factores, lo que facilita calcular el signo de una permutación factorizada en ciclos.

Aplicaciones relevantes

Como primera aplicación, cuando una permutación representa la reordenación de las filas o columnas de una matriz cuadrada, el signo de dicha permutación es precisamente el signo que multiplica al determinante transformado. Repasemos que una matriz es una tabla de números (u otros objetos asimilables) rodeada de paréntesis, la cuales se pueden sumar y multiplicar dependiendo de ciertas coincidencias en los números de filas y columnas. Si una matriz es cuadrada, que tiene el mismo número de filas que de columnas, se puede definir su determinante como cierta operación en las entradas de la matriz que involucra permutaciones. El determinante de una matriz se denota sustituyendo los paréntesis de la matriz por barras verticales. Tanto matrices como determinantes son muy útiles en Álgebra y Geometría Lineales, pero pueden haberse introducido antes de la universidad o no según el currículo preuniversitario de cada lugar.

Por ejemplo, si tenemos una matriz $4\times4$ dada por columnas y les aplicamos la permutación $\alpha$ de antes, al ser esta permutación par, el determinante es el mismo:

$\left|\begin{array}[pos]{cccc} C_1 & C_2 & C_3 & C_4 \end{array}\right| =\left|\begin{array}[pos]{cccc} C_2 & C_4 & C_3 & C_1 \end{array}\right|.$

Por contra, si la permutación que aplicamos es la transposición $\beta$ de antes,

$\left|\begin{array}[pos]{cccc} C_1 & C_2 & C_3 & C_4 \end{array}\right| =-\left|\begin{array}[pos]{cccc} C_1 & C_2 & C_4 & C_3 \end{array}\right|$

porque $\beta$ es una permutación impar.

Como aplicación más avanzada, para aquellos acostumbrados a la Teoría de Grupos, las permutaciones pares forman un subgrupo del grupo de todas las permutaciones sobre un conjunto finito. El primero de estos se llama el subgrupo alternado y el segundo es el grupo simétrico. Los grupos simétrico y alternado son muy relevantes en Teoría de Grupos general.

Una aplicación al género

Consideremos $\Omega$ el espacio de los valores de género donde actúen las permutaciones. Así, cada persona tendrá un género asignado al nacer (GAAN) y una identida de género (IG) que serán operaciones nularias sobre este espacio, en otras palabras, maneras de escoger dentro de $\Omega$ uno de estos valores de género $\mathrm{GAAN}()$ como su GAAN y otro $\mathrm{IG}()$ como su identida de género, iguales (cis) o diferentes (trans). Para el lector acostumbrado a la programación informática, una operación nularia es simplemente una función sin entrada pero con salida.

El grupo de permutaciones sobre $\Omega$ actúa por la izquierda por composición con las operaciones nularias como GAAN o IG. Dada una permutación $\sigma$ y una operación nularia $N$ , la composición $M=\sigma\circ N$ es simplemente otra operación nularia que escoge $M()=\sigma(N())$ .

Con estos fundamentos, siempre podemos considerar $\mathrm{IG}=\sigma\circ\mathrm{GAAN}$ para una permutación $\sigma$ adecuada sobre $\Omega$ . En el caso Trans, simplemente tomamos como $\sigma$ la transposición que intercambia $\mathrm{GAAN}()$ y $\mathrm{IG}()$ , y sucede que es la única transposición que lo cumple. Más aun, se tiene que $\mathrm{GAAN}=\sigma\circ\mathrm{IG}$ por que las transposiciones son sus propias inversas. En el caso Cis, podemos tomar como $\sigma$ la permutación identidad e incluso mantenemos la última propiedad.

Conclusión

Debo remarcar la polisemia (múltiples significados) de la palabra “identidad”, que aparece tanto en “permutación identidad” como en “identidad de género”, por lo que se debe tener cuidado cuando se hable de “la identidad” en este contexto. Más aún, la única operación nularia $N$ que hace $\mathrm{IG}=\sigma\circ N$ para $\sigma=\mathrm{id}$ es $N=\mathrm{IG}$ . Este último resultado, a pesar de ser casi una tautología, tiene también un fuerte peso político: “la única manera de recuperar el valor de la identidad de género es a través de la propia IG”, en otras palabras, “la única manera de saber la identidad de género es preguntando por ella”, en lugar de inferirla o adivinarla.